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椭圆求周术

①清董祐诚、②清项名达撰。①董祐诚(详见《割圆连比例图解》)于1821年撰此书一卷。椭圆于明末从西方传入我国,并于十八世纪用于历算之中。对椭圆面积求法已有人研究,但其周长尚无人计算。董氏《椭圆求周术》自序:“椭圆求周旧无其术。秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆,是可以勾股形求之。”在此基础上,他仿照《九章算术》勾股章“葛生缠木”题的解法,以圆柱半周为勾,长轴、短轴平方之差为股平方,求弦得椭圆半周。他的公式今译是p=〔其中p为周,a、b为椭圆长、短半轴〕。显然这一公式是错误的。不过,董祐诚对此项研究具有开创之功。该书版本有《董方立遗书》本、《测海山房丛刻》本、《中西算学汇通》本、《西学大成》本、《富强斋丛书》正集本。②项名达(详见《象数一原》)撰。项名达对圆锥曲线深有研究,在去世前不久写成《椭圆求周术》,并于戊申(1848)冬致书戴煦:“弦矢互求,椭圆求周二种,为惬意之作,恐病躯不及蒇事,乞代整理”。1850年项名达死。戴煦遵嘱将原术整理并补《椭圆求周图解》。原书及图解共计二万五千字,附图十一幅。附于《象数一原》卷六之后。项名达是用初等方法求椭圆周长的:过椭圆长、短半轴作两同心圆,然后把一象限n等分,过分点向椭圆的长轴引垂线,与椭圆周有交点,过交点作椭圆弧的弦,再通过圆的周长求出椭圆的周长。在《椭圆求周术》中,项名达写道:“法以大径为径,求得平圆周为第一数。次以椭圆大半径为第一率,小半径自乘,大半径除之,转减大半径为第三率,乃置第一数,以三率乘之,一率除之,二自乘除之,为第二数。次置第二数,以三率乘之,一率除之,三乘之,四自乘除之,为第三数。次置第三数,以三率乘之,一率除之,三乘之,五乘之,六自乘除之,为第四数。次置第四数,以三率乘之,一率除之,七乘之,九乘之,八自乘除之,为第五数。……依次递乘递除,得数渐小至单位下止。第一数正,第二数下皆负,正负相减,即椭圆周。”项名达利用他所熟知的开平方捷法求椭圆周长,他的椭圆周长级数表达式,与用近代椭圆积分所得的结果完全相同。他注意到把大圆的象限弧“析分愈多,则椭弦渐与弧合,加减差愈后,而其差亦愈微,析至无量分,则椭弦和,即椭圆,象限亦无加减差可言矣。”这是一种积分思想。项名达的工作为我国独特的圆锥曲线理论的结果,一举完成了椭圆求周工作,至为难能可贵。《椭圆求周术》版本有1888年上海赵氏《高斋丛刻》本载《象数一原》内,现藏浙江图书馆;《古今算学丛书》本;《丛书集成初编》本。

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